Strój równomiernie temperowany

[poco]

W trełci, do trełci PiotraCh, od słowa "Póki co..." dodał bym jeszcze indywidualnę technikę gry gitarzysty, czy nacisk jest równomierny na każdej strunie i każdym palcem, czy prostopadły, czy struna pobudzona do drgał jest lub nie "podcięgnięta" - nawiasem mówięc, to podcięgnięcie zawsze występi, czy wydobywamy pojedyncze dęšłwięki, czy gra akordami, jak odpowie na nasze działanie konstrukcja instrumentu , ..... . Pewnie znalazło by się jeszcze parę zmiennych uniemożliwiajęcych obiektywnę ocenę od strony praktycznej. Uwaga o fretlesie, to konsumuje temat smyczków, który poruszyłem wczełniej, przy czym , o ile grę solo da się spacyfikowaę, to już więcej dęšłwięków stworzy problem. To tak tytułem wtręcenia.
Wszystko, co znalazło do tej pory miejsce w tym temacie na forum łwiadczy ,z jak złożonę materię mamy do czynienia !!! ęšłĽe opowiadanie wszelkich prawd objawionych, to zwykłe bajdurzenie o szopenie.
Tym samym , każdemu kto ma zamiar zajmowaę się budowę instrumentu pt. gitara polecam wnikliwej uwadze i obowięzkowe zapoznania się z publikowanymi tu trełciami. A będzie ich jeszcze pewnie sporo.
Pozdrawiam, Ryszard

[PiotrCh]

ęšłĽe opowiadanie wszelkich prawd objawionych, to zwykłe bajdurzenie o szopenie.

Jednę z ważniejszych dla mnie lekcji na laboratoriach z fizyki była analiza błędu. Mierzyliłmy różne wielkołci różnej małci instrumentami. Wartołę podana w wyniku była mało wartołciowa, gdy obok nie stała informacja o błędach procesu pomiarowego. Od tamtej pory zawsze mam z tyłu głowy pytanie - jaka jest dokładnołę metody. W dobie wyłwietlaczy cyfrowych z wieloma miejscami po przecinku powstaje mylne wrażenie dokładnołci, a tak na prawdę mamy do czynienia z precyzję odczytu wyniku. Precyzyjnie może byę, ale wcięż obok prawdy i wcięż niedokładnie. Fajnie jest - jak instrument pomiarowy ma zapas dokładnołci względem potrzeb. Gorzej jak uchyb instrumentu jest rzędu podobnego jak zmiennołę wartołci mierzonej... wtedy jak pijane dziecko we mgle. Jest powiedzenie - odmierzył suwmiarkę, zaznaczył kredę, a odcięł siekierkę. Najsłabsze ogniwo w procesie kontroli często decyduje o całokształcie. W naszych rozważaniach najsłabszym ogniwem jest nasz słuch..prawdopodobnie. O ile na unisonie słychaę dudnienia przy różnicach kilku centów, to nie wiem czy na innych interwałach kilka centów jest różnicę łatwo wychwytywalnę. Ale to są moje domniemania w praktyce może byę inaczej

[waldek]

Doceniam próby przemówienia mi do rozsądku koledzy . Mam dyplom technika mechanika o specjalnołci obróbka skrawaniem oraz kilkuletnię praktykę, przekonywanie że czegoś się nie da dokładnie zrobię, albo zmierzyę nie przyniesie tutaj rezultatu, byłem kształcony w dobieraniu procesów technologicznych i metod pomiaru. Pasjonuje mnie majsterkowanie przy temperacji i mam wystarczajęco dużo doświadczenia technicznego/czasu/łrodków aby sobie taki projekt realizowaę.

szablon.png

To nie jest metoda na dokładny strój instrumentu. Stroju nie mierzy się w calach, tylko w centach. Na Dzieł dzisiejszy nie ma praktycznego przelicznika centów na cale, bo ten zmienia się w zależnołci od konstrukcji gryfu, ugięcia, grubołci strun, nacięgu, nacisku (jak słusznie zauważyliłcie) i będzie inny dla każdego instrumentu. Wartołę w centach może byę zmierzona tylko po założeniu strun. Napisałem że można rozpoczaę od szablonu (bo od czegoś trzeba zaczęę), aby móc założyę struny i zaczęę mierzyę. Na podstrunnicy powinno byę 1200 centów na oktawę i 100 centów pomiędzy progami. Jełli nie ma 100 centów, to nie ma dokładnego stroju; nieważne kto wykonał szablon i jak dokładnie. Dokładnołę osiagana przy pomocy takich szablonów to w mojej opinii +-15% (15 centów) lub gorzej. Wystarczajaco dużo aby przeniełę się z jednej temperacji w innę; nawet 2% (2 centy) przenoszę kwintę ze stroju pitagorejskiego do 12-TET. Siłę rzeczy, do majsterkowania przy temperacji potrzebna jest większa dokładnołę. Instrumenty bezprogowe budowane są w fabrykach z dokładnołcię do pół centa; stroiciele fortepianów staraję się stroię do 1 centa lub lepiej. Nie widzę powodu aby kontynuowaę kilkusetletnię tradycję budowania instrumentów progowych z dokładnołcię +-15%.
Byę może będzie tak jak zasugerowałeł Piotrze- żaden z progów nie wyjdzie "prosty" nawet w 12-TET. Nie robi mi to różnicy, osobiłcie nie uznaję progów TT za standard i nie widzę sensu upierania się przy jednoczęłciowych progach. Dla mnie próg może byę podzielony na 6 segmentów i segmenty rozsunięte według potrzeb; wtedy taki próg nadal pozostaje prosty. Jełli chodzi o pomiar; zgadzam się z zapasem dokładnołci. Uważam, że mam taki zapas, bo stosuję narzędzia pomiarowe o rzęd dokładniejsze niż wymagana dokładnołę. Uważam że +-1 cent na całej długołci podstrunnicy jest osięgalny, w większołci temperacji. Można też łatwo sprawdzię czy różnica kilku centów jest zauważalna. W gitarze odległołę miedzy pustymi strunami G i H to tercja wielka. Możesz nastroię obie do tunera, potem podniełę H o cent/dwa/trzy i sprawdzię czy robi różnicę. I na koniec, strunę do pomiaru wystarczy naciskaę dokładnie nad progiem. Mikroskop nie jest złym pomysłem, bo warto wiedzieę którym zwojem struna siada na progu. Kilka innych kwestii które poruszyliłcie zostawiam na póęšłniej.
__________________
Kwinty Pitagorasa
Choę od czasów Pitagorasa minęło 2500 lat, okrełlenie strój pitagorejski używane jest do dzisiaj (mówi się np. że skrzypek w trakcie utworu zmienia strój z naturalnego na pitagorejski), warto przestudiowaę dlaczego. Przyjrzyjmy się klawiaturze fortepianu, zbudowanej z powtarzajęcych się modułów po 12 klawiszy zwanych oktawami

klawisze.png

(w fortepianie do siedmiu takich modułów dodaje się trzy klawisze w lewej aby klawiatura zaczynała się od A i jeden klawisz z prawej aby kołczyła się na C, ale dla uproszczenia pominiemy takie detale). Gdy zaczniemy od przykładowego dęšłwięku C i pomnożymy jego częstotliwołę przez 3:2, to uzyskamy dęšłwięk G. Te 2 dęšłwięki zagrane razem to interwał zwany kwintę (CG)

kwinta1.png

Warto zadaę pytanie co będzie gdy zamiast "C" z lewej, dodamy do dęšłwięku G dęšłwięk "C" z następnego modułu, czyli C wyższe o oktawę od pierwszego C?

kwintakwarta.png

Powstanie wtedy kwarta (GC). Kwarty okrełla się stosunkiem 4:3. Gdy pomnożymy częstotliwołę dęšłwięku G przez 4:3, to uzyskamy częstotliwołę dęšłwięku C. Tym samym, gdy pomnożymy częstotliwołę tego C przez 3:4, to wrócimy do G. Znaczy kwarta w górę oznacza mnożenie częstotliwołci przez 4:3, kwarta w dół oznacza mnożenie częstotliwołci przez 3:4. Kwinta w górę oznacza mnożenie częstotliwołci przez 3:2, kwinta w dół oznacza mnożenie częstotliwołci przez 2:3.

Warto tu wstawię pojęcie przewrotu interwału. Przewrót interwału powstaje wtedy, gdy dolny dęšłwięk przeniesiemy o oktawę wyżej, lub górny dęšłwięk przeniesiemy o oktawę niżej.
Kwinta CG, dolny dęšłwięk C przeniesiony o oktawę wyżej = kwarta GC.
Kwarta GC, góny dęšłwięk C przeniesiony oktawę niżej = kwinta CG

Dla przypomnienia fragmenty opracowania Pilch Toporowski, Dawne temperacje:
Zasady uzupełnieł do oktawy dla interwałow czystych:
â?˘ kwarta + kwinta = oktawa
â?˘ kwinta + kwarta = oktawa
...
Aby dodaę interwały, mnożymy przez siebie ich proporcje
...
Odejmowanie interwałow polega na dzieleniu ich proporcji
...
Interwał opisaę można na dwa sposoby: jako stosunek częstotliwołci lub (historycznie) jako proporcja dwoch długołci struny
...
Gdy skrocimy strunę do połowy jej długołci, wowczas otrzymamy dęšłwięk brzmięcy oktawę wyżej. Jełli podzielimy ję na trzy i skrocimy jej drgajęcę powierzchnię do dwoch trzecich, wowczas uzyskamy dęšłwięk wyższy o kwintę. Skracajęc jej powierzchnię drgajęcę według kolejnych proporcji (3/4, 4/5, 5/6 itd.długołci) tworzymy dęšłwięki, ktorych wysokołę odpowiada kolejnym składowym harmonicznym. Zauważmy, że stosunek częstotliwołci jest odwroceniem proporcji długołci struny.
__________
koniec cytatu.
Do kwinty dodajemy kwartę i uzyskujemy oktawę 3:2ę?łĽ4:3 = 12:6 = 2:1 (Na kołcu wykonaliłmy skrócenie ułamka, podzieliliłmy licznik i mianownik przez 6).
Od oktawy odejmujemy kwartę i uzyskujemy kwintę 2:1ę?łĽ3:4 = 6:4 = 3:2
(Kiedy musimy podzielię jeden ułamek przez drugi, to zamieniamy dzielenie na mnożenie. Mnożymy wówczas pierwszy ułamek przez odwrotnołę drugiego ułamka)
Dlaczego interwały wyraża się w ułamkach? Bo łatwiej policzyę 3:2ę?łĽ4:3 niż 1,5ę?łĽ1,333333333..
Brzmienie kwarty, kwinty i oktawy:
https://www.youtube.com/watch?v=9CKCnVXOHIU
Powrót do kwinty Pitagorasa. Gdy pomnożymy częstotliwołę G przez 3:2, to uzyskamy dęšłwięk D. Ten drugi interwał to kwinta GD

kwinta22.png

Dodajęc w ten sposób kwinty za każdym razem lędujemy na innym dęšłwięku. Pitargoras postanowił wyprodukowaę za pomocę kwint całę skalę muzycznę

kwinta33.png

(Warto zwrócię uwagę na uzyskane do tej pory dęšłwięki C-G-D-A-E które tworzę skalę pentatonicznę)
Drugim interwałem interesujęcym Pitagorasa była oktawa. Gdy zaczniemy od tego samego C z lewej i zaczniemy dodawaę oktawy (mnożęc za każdym razem częstotliwołę dęšłwięku przez 2:1), uzyskamy za każdym razem ten sam dęšłwięk C, wyższy o oktawę

oktawa11.png

Pitagoras wierzył, że po dodaniu odpowiedniej ilołci kwint wylęduje na dęšłwięku od którego zaczęł, tylko o kilka oktaw wyższym, i cały system unison-kwarta-kwinta-oktawa się domknie

oktawa33.png

Po dodaniu 12 kwint wyszło mu że jest 7 oktaw od punktu startu, ale nie całkiem. Wyszła różnica ponad 23 centy, czyli 1.4%. Na wiki ktoł narysował niedomkniętę gwiazdę obrazujęcę 12 kwint Pitagorasa (każda linia przedstawia kwintę)

gwiazda.png

Okazało się, że z akustycznie czystych interwałów nie da się zrobię praktycznego zamkniętego systemu dęšłwiękowego. Z przyczyn czysto matematycznych- liczby podzielne przez 2 nie mogę byę podzielne przez liczby które są podzielne przez 3.

Pitagoras010.png

Wyjętkowo ciężki Dzieł dla Pitagorasa, który wraz z kolegami wyznawał łwiatopoględ, że życie na Ziemi jest zbudowane na liczbach 1,2,3,4 a muzyka jest dziedzinę matematyki
1/1 1/2 1/3 1/4
2/1 2/2 2/3 2/4
3/1 3/2 3/3 3/4
4/1 4/2 4/3 4/4
Przez kolejne 2000 lat uczeni zmagali się z problemem gwiazdy Pitagorasa i próbowali ję domknęę

gwiazda2.png

przesuwajęc poszczególne ramiona gwiazdy o kilka czy kilkanałcie centów w tę i w tamtę, aby całołę miała muzyczny sens i nie trzeba było przestrajaę instrumentu przed każdym utworem; lub przy zmianie stylu muzyki. 2000 lat majsterkowania przy gwieęšłdzie Pitagorasa skołczyło się tym, że producenci instrumentów muzycznych zaczęli masowo stosowaę tzw. strój równomiernie temperowany, kupujęcy oraz użytkownicy instrumentów nie protestowali; i tak oto dził mamy powszechnie obowięzujęcy strój Equal Temperament o którym poetycko opowiada Howard Goodall na pierwszej stronie wętku.
Pitagorasa przypomniałem z dwóch powodów. Zrozumienie tylko tych 2 interwałów (oraz ich przewrotów) ułatwi zrozumienie całej reszty tematu; po drugie eksperymenty Pitagorasa ze strunę mogę komuł pomóc we własnych eksperymentach, a przy okazji pomogę w zrozumieniu zależnołci między dęšłwiękami na progach.
Na koniec warto dodaę, że wykonujęc obliczenia na interwałach przenosi się dęšłwięki od razu do jednej oktawy

jednaoktawa1.png

Pitagoras nie miał dostępu do klawiatury fortepianu, więc następnym razem opiszę jak sobie poradził; przy okazji opisu skali naturalnej.

[PiotrCh]

Nie chcę oczywiłcie nikogo zniechęcaę:) Z przyjemnołcię przyjmę wiełci o sukcesie takiego gryfu.

[poco]

Nie mam pojęcia, gdzie szukaę takich informacji, aby próbowaę zrozumieę, ale sądzę, że w takiej wersji i tak klarownie wyjałnionego problemu trudno będzie szukaę gDzieł. Chapeau bas.
Miałbym również prołbę w zwięzku z tym tematem, a mianowicie, do obliczania rozstawu progów dla dowolnej menzury zastosowano mnożnik 18,718 - metoda podana w naszym słowniku znajdujęcym się na poczętku każdego działu w temacie - menzura. Skęd wzięł się ten mnożnik i czy on nie załatwia tematu rozstawu progów z uwzględnieniem tego , co zwięzane jest z qwartę, qwintę, itd. Ale to tak jako temat "okołostrojowy", jeżeli ma jakiekolwiek powięzanie z rozkminianym zagadnieniem.
Pozdrawiam, Ryszard

[PiotrCh]

Ryszard,
tu masz formułę:
odległołę od siodełka = Menzura â?? (Menzura/(2^ (n/12))), gdzie n to numer progu.

pierwiastek 12-go stopnia produkuje interwały 100 centowe - czyli tyle ile ma byę w stroju równomiernie temperowanym pomiędzy półtonami bo cent to 2^(1/1200).

EDIT:

szybkie wyprowadzenie formuły:
M- menzura
x- odległołę od siodełka

C=2^(n/12) - stosunek częstotliwołci dwóch dęšłwięków w interwale 100 cent
n -nr progu

Na przykładzie 1 progu

(M-x)/M=C
wyprowadzajęc x dostajemy x=M-M /C
czyli dla n=1 mamy x1=M-M/(2^(n/12))

podstawiajęc kolejne liczby pod n (numery progów) dostajemy odległołci od siodełka spełniajęc założenie stroju równomiernie temperowanego, gdzie stosunek dwóch częstotliwołci w interwale połowy tonu jest równy 2^(1/12).

Jak ktoł chce może sprawdzię czy wartołci z tej formuły daję te same wyniki co metoda ze stałę przytoczonę przez Ryszarda.

----------------------------------------------------------------------------
Waldku - super tłumaczysz:) Niejednego ołwieci, że kolejne dęšłwięki C to nie są te same dęšłwięki pomimo powtórzonej nazwy To są dęšłwięki w interwale oktawy, a że oktawa brzmi jak brzmi - to nazwano stopnie powtórzonę literę ograniczajęc liczbę stopni w skali. Ja nie jestem muzykiem, ale widzę w tych zasadach matematykę, która lepiej do mnie przemawia niż nuty.
----------------------------------------------------------------------------
Odpowiedęšłna pytanie Ryszarda:

oczywiłcie tajemnicza stała to (1-1/C)^-1, C - jak w formule powyżej - dla jednostkowej menzury:)
Ta stała to 17.817154.

[poco]

O qęšłwa! Musiałem założyę kask na głowę, żeby mi nie rozerwało głowy od tych wyliczeł.
Jedno jest pewne - liczył tego nie będę dla samego sprawdzenia i skoro ten współczynnik jest wielkołcię , która i tak występi jako wynik przeliczeł, to ja go przyjmuję i liczę z jego wykorzystaniem. Myłlę, że niedokładnołci rzędu tych centów i tak nie będę słyszalne przez 99,9% słuchaczy. Jak jeszcze dołożymy całę armię gałek , to nawet najtęższy słuch nie wychwyci różnic. Tak mi się wydaje. No, może słuchajęc gitary klasycznej da się zauważyę , bo tu są czyste dęšłwięki, ale wtedy kolejne pytanie ciłnie się na usta - muzycy, soliłci grajęcy na tych instrumentach nie słyszę tych niuansów?
Skołowany jestem tymi informacjami, bo z jednej strony dęży się do max dokładnołci, a tu okazuje się , że nie jest ona osięgalna dla większołci pracowni lutniczych, ba nawet fabrycznych molochów i co najciekawsze olewaję ję uznani lutnicy.
Może jutro przyniesie znaczęce zmiany w tej kwestii i prezentowane tu trełci przyczynię się do lepszego, łopatologicznego zrozumienia tematu z korzyłcię dla instrumentów, a dalej muzyki.
Trochę przypomina to sytuację , jak z płytami winylowymi, potem tałmy magnetofonowe, potem zapis cyfrowy i powrót do winyli. Czyli prawdopodobnie i to na szerszę skalę będę obok siebie funkcjonowali lutnicy o różnym podejłciu do tematu, bo postępu się nie zatrzyma.
Pozdrawiam, Ryszard
'

[waldek]

Dziękuję Piotrze za opisanie formuły, nie powinno jej zabraknęę w temacie o stroju równomiernie temperowanym.

O qęšłwa! Musiałem założyę kask na głowę, żeby mi nie rozerwało głowy od tych wyliczeł.
Jedno jest pewne - liczył tego nie będę dla samego sprawdzenia i skoro ten współczynnik jest wielkołcię , która i tak występi jako wynik przeliczeł, to ja go przyjmuję i liczę z jego wykorzystaniem. Myłlę, że niedokładnołci rzędu tych centów i tak nie będę słyszalne przez 99,9% słuchaczy. Jak jeszcze dołożymy całę armię gałek , to nawet najtęższy słuch nie wychwyci różnic. Tak mi się wydaje. No, może słuchajęc gitary klasycznej da się zauważyę , bo tu są czyste dęšłwięki, ale wtedy kolejne pytanie ciłnie się na usta - muzycy, soliłci grajęcy na tych instrumentach nie słyszę tych niuansów?..

Różne składowe harmoniczne w różny sposób wpływaję na postrzeganie stroju. W większołci gitar klasycznych nie ma nawet kompensacji menzury i niewielu osobom to przeszkadza. Na przesterze usłyszymy więcej składowych harmonicznych które czasami walczę z dęšłwiękami podstawowymi o dominację, stęd różnice kilku centów mogę byę bardziej zauważalne. Mamy tu fachowców od gitar elektrycznych i przesterów, więc może ktoł kiedyś rozwinie temat. Pilch, Toporowski Dawne Temperacje pisze o rodzajach fali generowanego dęšłwięku (strony 13-14), oraz:

Zajmujęc się strojeniem instrumentow, prędzej czy poęšłniej zetkniemy się z problemem wpływu barwy dęšłwięku na jakołę strojenia. O tym czy, lub w jakim stopniu interwał jest konsonansowy, decyduje zależnołę pomiędzy pierwszymi ich wspolnymi alikwotami. Np. za akustycznę jakołę kwinty odpowiada wspołbrzmienie trzeciej składowej dęšłwięku niższego z drugę dęšłwięku wyższego. Jełli w dęšłwięku wyższym brak drugiej składowej (jak np. w przypadku fali trojkętnej czy kwadratowej,wowczas możemy mieę problemy z usłyszeniem dudnieł włałciwych danemu interwałowi. Z problemem tym spotykamy się czasem, gdy probujemy zestroię dwa instrumenty o różnej barwie. Dwa zupełnie różne ęšłrodła dęšłwięku i różne ich charakterystyki powoduję, że niejako nie słyszymy czy dęšłwięki stroję, czy nie.[..]
(Dudnienia pierwszego i wyższego rzędu (rozdz. 2) oraz Interwał czysty (rozdz. 3), str. 23-24).

koniec cytatu

Jełli dobrze pamiętam gitarzyłci elektryczni np. preferuję brzmienie kwinty 12-TET, która jest rozstrojona w stosunku do kwinty akustycznie czystej o 2 centy, bo daje subtelny efekt chorusa. A interwał pomiedzy pustymi strunami G i H to tercja wielka, w stroju 12-TET rozstrojona o 13 centów. Dodanie kolejnego centa na przesterze (do 14-tu) powinno byę zauważalne.

Miałbym również prołbę w zwięzku z tym tematem, a mianowicie, do obliczania rozstawu progów dla dowolnej menzury zastosowano mnożnik 18,718 - metoda podana w naszym słowniku znajdujęcym się na poczętku każdego działu w temacie - menzura. Skęd wzięł się ten mnożnik i czy on nie załatwia tematu rozstawu progów z uwzględnieniem tego , co zwięzane jest z qwartę, qwintę, itd

Można powiedzieę że załatwia, bo instrumenty od dawna buduje się według formuły w calach i większołę ludzi je akceptuje. Formuła nie uwzględnia struny. Przyciłnięcie struny do progu powoduje podwyższenie dęšłwięku, im krótsza długołę czynna struny, tym większa zmiana i na każym progu jest to inna wartołę. Lutnicy używaję metody skrócenia pierwszego progu o ok. 0.5mm, co zdaje się pomagaę, ale tak naprawdę należałoby zmodyfikowaę całę formułę i przesunęę wszystkie progi po kolei. Grubołę struny też robi różnicę. Innymi słowy aby formuła w calach działała w gitarze tak jak działa na papierze, to wysokołę strun nad progami musiałaby wynosię 0.00 mm. Myłlę, że tuner stroboskopowy plus szklany liniał pomiarowy o wysokiej rozdzielczołci do symulowania pozycji progów pokaże wszystkie detale. Takiej metody mam zamiar użyę, waham się tylko czy użyę symulacji samej podstrunnicy, czy dołożyę pudło gitary.

Jeszcze jedna kwestia, o której wspomiał Piotr: "Ustalmy najpierw jakie odejłcia od wzorcowych herców stroju równomiernie temperowanego w gitarze klasyfikuję konkretny instrument do ęšłle, słabo, dobrze, bardzo dobrze strojęcego. Wówczas będziemy wiedzieli jak dobieraę narzędzia do kontroli dokładnołci wykonania podstrunnicy.

Z doświadczenia wiem, że nie zaakceptuję stroju który może brzmieę idealnie dla innego użytkownika, a on może nie zaakceptowaę mojego. Ze strojem jest jak z jedzeniem- gorzko, słodko, ostro- nie sposób wyznaczyę jeden smak, dozowanie i preferencje. Osobiłcie w filharmonii preferuję interwały akustycznie czyste. Na korytarzu lokalnego liceum gdzie słuchałem duetu Scoffielda raczej nie było ani jednego czystego interwału, a odlot był nie mniejszy niż w filharmonii. Osobiłcie nie podejmowałbym się narzucania innym stroju, bo ten w dużej mierze zależy od kontekstu, poza tym jeden szeroko akceptowany standard już mamy. Wolę godzinami studiowaę temat który opisałeł w tym połcie:

Każdy z nas chyba zna z autopsji takę sytuację:
Dajemy swoję gitarę koledze, a on pierwsze co robi to zaczyna ję stroię - pomimo tego, że gitara jest nastrojona. Sprawdza zatem jak brzmi w akordach w pierwszych pozycjach, potem w kolejnych..i co robię - krzywię się, bo jakił interwał im nie brzmi. I zaczyna się kręcenie kluczami i kręcenie nosem. Czego to dowodzi? ęšłĽe kolega szuka interwałów czystych.

[poco]

Ze to może mieę zastosowanie, to dzisiaj przekonał mnie Steve Vai, który w swojej białej gitarze ma wykonane progi tak, że widaę tę kompensację na poszczególnych progach. https://www.youtube.com/watch?v=ZXh5nWDNHf Ale to jest Steve Vai, a nie ja, czy miliony mi podobnych.
Pozdrawiam, Ryszard

[waldek]

Przypuszczam, że podstrunnica Vai'a zainspirowała wielu do studiowania tematu.

Po przeniesieniu dęšłwięków do wyjłciowej oktawy

jednaoktawa1.png

uzyskujemy skalę C D E F G A B C którę można opisaę proporcjami

rys45.PNG

To skala Pitagorasa. Pod spodem proporcje w odniesieniu do dęšłwięku podstawowego. Z matematycznego punktu widzenia charakteryzuje się tym, że całe tony maję współczynnik 9:8 oraz występuję tu dwa półtony o współczynnikach 256:243 i 2187:2048, z których żaden nie odpowiada połowie całego tonu. Oznacza to, że dęšłwięk podwyższony o pół tonu produkuje inny dęšłwięk, niż dęšłwięk wyprodukowany przez obniżenie o pół tonu dęšłwięku leżęcego o cały ton wyżej. Jak łatwo się domyłlię użytecznołę takiej skali jest ograniczona.
W powyższy sposób powstaje znajomo brzmięca sekwencja

rys46.PNG

Wyjałnienie ułamków i współczynników

rys47.PNG

całe tony
Cę?łĽ9:8 = D (1:1ę?łĽ9:8 = 9:8)
Dę?łĽ9:8 = E (9:8ę?łĽ9:8 = 81:64)
Fę?łĽ9:8 = G (4:3ę?łĽ9:8 = 36:24 = 3:2)
Gę?łĽ9:8 = A (3:2ę?łĽ9:8 = 27:16)
Aę?łĽ9:8 = B (27:16ę?łĽ9:8 = 243:128)
półtony
Eę?łĽ256:243 = F (81:64ę?łĽ256:243 = 20736:15552= 4:3)
Bę?łĽ256:243 = C (243:128ę?łĽ256:243 = 62208:31104 = 2:1)
o półtonach chromatycznych i diatonicznych można poczytaę gdzie indziej.

Dodam że do opracowania Pilch, Toporowski Dawne Temperacje wkradł się błęd na stronie 53, proporcje pomiędzy A i H powinny byę 9:8, a nie 32:27

rys50.jpg

27/16 ę?łĽ9/8 = 243/128

Jak pisałem Pitagoras upierał się przy wizji łwiata opartej na liczbach 1 2 3 4, tym samym w jego skali nie było miejsca na interwały oparte na liczbach 5 7. A szkoda, bo z biegiem czasu okazało się że ludzie preferuję, między innymi, brzmienie tercji wielkiej 5:4 do Pitagorejskiej 81:64. Pitagoras sam niby uważał, że interwał był bardziej konsonansowy, jeżeli był okrełlony przez stosunek mniejszych liczb, ale jak widaę wiara czyni cuda.
Wiara Pitagorasa zdaje się obowięzywaę do dzisiaj, również w Polsce, gdzie w jednej z recenzji czytam takie ciekawostki:
Seria 3/2 pod redakcję Tomasza Wierzbowskiego prezentuje wszystko to, na co â?? podobnie jak w przypadku prawdziwie czystej kwinty â?? nie ma miejsca w naszym codziennym sposobie myłlenia o muzyce i sztuce: co zostało zapomniane, wymazane będęšłwyparte. Za ojca teorii dęšłwięków muzycznych uważany jest Pitagoras, który zauważył, że niektóre pary dęšłwięków zagrane jednoczełnie brzmię zgodnie, a inne nie. Za pomocę monochordu ustalił, że wzajemne stosunki wysokołci dęšłwięków tworzęcych konsonans wyrażaję się w prostych liczbach. Interwał kwinty, wyróżniajęcy się społród innych najstabilniejszym współbrzmieniem, tworzyły w jego systemie dęšłwięki o wzajemnym stosunku częstotliwołci 3:2. Ten â??mocnyâ?? interwał musiał staę się podstawę każdego systemu muzycznego. Jednak jego akustycznie czysta forma, jakę zalecał Pitagoras, nie znalazła miejsca w muzyce europejskiej, dężęcej do kompleksowołci i kochajęcej doskonałę symetrię klawiatury fortepianu. Został więc odarty z częłci swego brzmienia i posłużył do stworzenia skali dęšłwiękowej w takim kształcie, jaki dził znamy.
Autor pierwszej księżki w serii, zatytułowanej Jak system równomiernie temperowany popsuł harmonię (i dlaczego powinno cię to obchodzię), Ross W. Duffin opowiada o negatywnych dla harmonii konsekwencjach powszechnego przyjęcia tego systemu strojenia w muzyce zachodniej, natomiast Stuart Isacoff w księżce Temperacja. Jak muzyka stała się polem bitwy wielkich umysłów zachodniej cywilizacji nakrełla obraz kontrowersji, jakie na przestrzeni wieków towarzyszyły dyskusjom o wprowadzeniu takiego stroju. Dotychczasowym celem serii 3/2 jest zachęcenie czytelników nie do spojrzenia wstecz na minione dzieje poszukiwania idealnego stroju muzycznego, lecz raczej â?? na tyle, na ile to możliwe â?? do wyprawienia się w podróż wehikułem czasu: przyjęcia perspektywy ludzi, którzy nie dysponowali naszę dzisiejszę wiedzę.

koniec cytatu.

Po skali Pitagorejskiej popularna stała się skala naturalna zwana po angielsku just

rys51.PNG

Na koniec ciekawe porównanie skali Pitagorejskiej, naturalnej i równomiernie temperowanej, tabele pokazuję proporcje w odniesieniu do dęšłwięku podstawowego oraz wielkołci interwałów w centach, liczone do dęšłwięku podstawowego

Pitagoras, just, equal.png

[Waldzither9]

Co do ostatniej tabelki nie daje mi spokoju ostatnia linijka z centami i zachodzę w głowę jak to policzono tzn jakie formuły są w komórce excela?
Zadajęc pytanie posłużył bym się póęšłnym Kwałniewskim: "Nu kak eta kak?"

[waldek]

centy.PNG

przykład dla interwału C D skali Pitagorejskiej i stosunku częstotliwołci 9:8

centyprzyklad.PNG

wynik ma wyniełę 203.910 centy- o dokładniejsze wyjałnienie poproszę Piotra

[Waldzither9]

Jak te centy są liczone algorytmami, to nie będę tego sprawdzał, bo poziom skomplikowania przekracza w moim przypadku ewentualne korzyłci. Tak czy inaczej warto wiedzieę, że nie są to proste relacje dwóch wielkołci (liczb) wyrażone procentowo.

[PiotrCh]

Andrzeju - funkcja logarytmiczna jest tu użyta. Jak się przyjrzysz gryfowi gitary (przykładowo) to widzisz, że progi nie są nabite w stałych odległołciach A na pianinie tego nie widaę, ale tam też odległołci między dęšłwiękami są liczone jak trzeba, żeby były przyjemne dla ucha interwały.

Wzory wklejone przez Waldka daję formułę na liczenie centów. Prawa strona równania to przekształcenie majęce na celu zmianę podstawy logarytmu na liczbę e (liczba Eulera) - dostajemy iloraz logarytmów naturalnych szukanego interwału i liczby dwa (1/ln(2)=1.442695).

Możesz liczyę lewę stronę, albo prawę, jak wygodniej Bo to jest równoważnołę, wynikajęca z własnołci logarytmów

[Waldzither9]

Mea culpa Piotrze, rzeczywiłcie podawałeł ileł wpisów temu definicję "centa" a ja nie doczytałem, nigdy bym nie wpadł ,że cent ma coś z logarytmem.
Tak czy owak stopieł skomplikowania materii w czasie upałów grozi przegrzaniem zwojów.